Persamaan Garis Lurus

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong dengan garis 2x + 5y = 1 dan garis x – 3y = – 5 yang sejajar dengan garis 3x – y + 5 = 0.

Penyelesaian:

Cari titik potong persamaan garis 2x +5y = 1 dan persamaan garis x – 3y = – 5 bisa dengan metode eliminasi atau metode substitusi. Di sini Mafia Online akan menggunakan metode substitusi, maka:

x – 3y = – 5 => x = 3y – 5

Substitusi x = 3y – 5 ke persamaan garis 2x +5y = 1, maka:

=> 2x + 5y = 1

=> 2 (3y – 5) + 5y = 1

=> 6y – 10 + 5y = 1

=> 11y = 11

=> y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x = 3y – 5, maka:

=> x = 3y – 5

=> x = 3.1 – 5

=> x = 3 – 5

=> x = – 2

Jadi titik potongnya di (– 2, 1)

Sekarang cari gradien persamaan garis 3x – y +5 = 0, maka:

=> 3x – y +5 = 0

=> 3x + 5 = y

=> y = 3x + 5

m = 3

Karena persamaan garisnya sejajar dengan persamaan garis 3x - y +5 = 0, maka m₁ = m₂ = m = 3.

Sekarang cari persamaan garis yang melalui titik (– 2, 1) dengan gradien m = 3, yakni:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (– 2) = 3(x – 1)

y + 2 = 3x – 3

y = 3x – 5

y – 3x + 5 = 0

Jadi, persamaan garis yang melalui titik potong dengan garis 2x +5y = 1 dan garis x - 3y = - 5 yang sejajar dengan garis 3x - y +5 = 0 adalah y = 3x – 5 atau y – 3x + 5 = 0.

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong dengan garis 2x – 5y = 2 dan garis x – 4y = – 5 yang sejajar dengan garis 3x – 4y + 5 = 0

Penyelesaian:

Caranya sama seperti contoh soal 1, cari titik potongnya terlebih dahulu, maka:

x – 4y = – 5 => x = 4y – 5

=> 2x – 5y = 2

=> 2(4y – 5) – 5y = 2

=> 8y – 10 – 5y = 2

=> 3y = 12

=> y = 4

x = 4y – 5

=> x = 4.4 – 5

=> x = 16 – 5

=> x = 11

Jadi titik potongnya di (11, 4)

Gradien m persamaan garis 3x – 4y + 5 = 0 yakni:

=> 3x – 4y + 5 = 0

=> 3x + 5 = 4y

=> 4y = 3x + 5

=> y = (3x + 5)/4

=> y = ¾x + 5/4

m = ¾

Karena persamaan garisnya sejajar dengan persamaan garis 3x – 4y + 5 = 0, maka m₁ = m₂ = m = ¾.

Sekarang cari persamaan garis yang melalui titik (11, 4) dengan gradien m = ¾, yakni:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 11 = ¾ (x – 4)

y – 11 = ¾ (x – 4) <= dikalikan 4

4(y – 11) = 3(x – 4)

4y – 44 = 3x – 12

4y – 3x – 32 = 0

Jadi persamaan garisnya adalah 4y – 3x – 32 = 0

Operasi ALjabar

Soal No. 1

Faktorkan bentuk-bentuk berikut:

a) 25x + 20y

b) 2mn − 8m

c) 15xy² + 10x²y

d) 6ab²c³ − 18 a³c²

e) 4xy²z³ + 6x²y³z²  + 12x³yz²

f) 4xy²z³ + 6x²y³z²

Pembahasan
Soal-soal di atas merupakan  tipe distributif, cara pemfaktorannya tinggal diringkas saja:
a) 25x + 20y
= 5(5x + 4y)

b) 2mn − 8m
= 2m(n − 4)

c) 15xy² + 10x²y
= 5xy (3y + 2x)

d) 6ab²c³ − 18 a³c²
= 6ac² (b²c + 3a²)

e) 4xy²z³ + 6x²y³z²  + 12x³yz²
= 2xyz (2yz² + 3xy²z + 6x²z)

f) 4xy²z³ +  12x³yz²
= 2xyz (2yz²  + 6x²z)

Soal No. 2
Faktorkan:
a) 5² − x²
b) a² − 2²
c) a² − 9
d) 4x² − 9
e) 16x² − 9y²
f) 16x⁸ − 9y⁴
Pembahasan
Pemfaktoran dari soal-soal diatas menggunakan rumus selisih kuadrat sebagai berikut:

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

atau

x2 − y2 = (x + y)(x − y)

a) 5² − x²
= (5 + x)(5 − x)

b) a² − 2²
= (a + 2)(a − 2)

c) a² − 9
= a² − 3²
= (a + 3)(a − 3)

d) 4x² − 9
= (2x)² − (3)²
= (2x + 3)(2x − 3)

e) 16x² − 9y²
= (4x)² − (3y)²
= (4x + 3y)(4x − 3y)

f) 16x⁸ − 9y⁴

= (4x⁴ )² − (3y² )²
= (4x⁴+ 3y²)(4x⁴ − 3y²)

Soal No. 3
Faktor dari 49p² − 64q² adalah....
A. (7p − 8q)(7p − 8q)
B. (7p + 16q)(7p − 4q)
C. (7p + 8q)(7p − 8q)
D. (7p + 4q)(7p − 16q)

Pembahasan
Dari contoh sebelumnya di atas,



Soal No.4
Perhatikan pernyataan di bawah ini!
(i) 3x² + 12x = 3x(x + 4)
(ii) 25x² − 36 = (5x + 9)(5x − 4)
(iii) x² − 2x − 35 = (x + 5)(x − 7)
(iv) 2x² − x − 6 = (2x − 3)(x + 2)

Pernyataan yang benar adalah....
A. (i) dan (ii)
B. (i) dan (iii)
C. (ii) dan (iii)
D. (ii) dan (iv)
(Pemfaktoran bentuk aljabar - un smp 2013)

Pembahasan
Lakukan pemeriksaan mana yang tidak cocok:



Soal No. 5
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut ini:
a) x² + 18x + 9
b) 16x² + 16x + 4
c) 4x² + 12xy + 9y²
Pembahasan
Soal nomor 3 pemfaktoran bentuk berikut:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b)

atau

x2 + 2xy + y2 = (x + y)(x + y)

a) x² + 6x + 9
= x² + 6x + 3²
  /      /      /
a     2ab    b
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Check apakah 2ab = 6x (suku tengahnya)
2ab = 2(x)(3) = 6x → cocok → rumus di atas bisa dipakai.

Demikian seterusnya untuk chek bisa tidaknya rumus di atas digunakan, jika tidak cocok pemfaktoran dilakukan dengan metode lain.
----------------------------------------------------------------------------------------------
= (x + 3)(x + 3)

b) 16x² + 16x + 4
= (4x)² + 16x + (2)²  → Cocok dengan pola rumus, bisa dilanjutkan.
    /          /       /
  a         2ab     b
= (4x + 2)(4x + 2)

c) 4x² + 12xy + 9y²
= (2x)² + 12xy + (3y)² → Cocok dengan pola rumus, bisa dilanjutkan.
     /        /           /
    a       2ab         b

= (2x + 3y)(2x + 3y)

Soal No. 6
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut ini:
a) x² − 10x + 25
b) p² − 16 p + 64
c) 16x² − 40x + 25
d) 16x² − 20xy + 25y²
Pembahasan
Bentuk umum:

a2 − 2ab + b2 = (a − b)(a − b)

atau

x2 − 2xy + y2 = (x − y)(x − y)

a) x² − 10x + 25
= x² − 2(x)(5) + 5²  → cocok dengan pola rumus, bisa dilanjutkan.
   /          /        /
  a       2ab       b

= (x − 5)(x − 5)

b) p² − 16 p + 64
= p² − 2(p)(8) + 8² → cocok dengan pola rumus, bisa dilanjutkan.
  /           /        /
a          2ab      b

= (p − 8)(p − 8)

c) 16x² − 40x + 25
= (4x)² − 2(4x)(5) + 5² → Cocok dengan pola rumus, bisa dilanjutkan.
     /            /          /
   a         2ab          b

=(4x − 5)(4x − 5)

d) 16x² − 40xy + 25y²
= (4x)² − 2(4x)(5y) + (5y)² → Cocok dengan pola rumus, bisa dilanjutkan.
    /              /             /
  a             2ab           b

= (4x − 5y)(4x − 5y)

Soal No. 7
Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut:
a) x² + 7x + 12
b) x² + 2x − 48
Pembahasan
Bentuk umum persamaan diatas:
a x² + bx + c
dengan a = 1

Berikut cara pemfaktoran bentuk kuadrat untuk a = 1:
a) x² + 7x + 12
a = 1, b = 7 dan c = 12

ac = (1)(12) = 12,  b = 7

Cari dua buah angka jika dikali = 12, jika ditambah = 7


Didapat angka 4 dan 3

Sehingga:
x² + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)

b) x² + 2x − 48
a = 1, b = 2 dan c = − 48

ac = − 48,        b = 2
Cari dua angka jika dikali − 48 jika dijumlah 2

Dapat angka 8 dan − 6
Sehingga :
x² + 2x − 48 = (x + 8)(x − 6)

Soal No. 8
Faktorkan bentuk kuadrat berikut:
a) 2x² + x −6
b) 5x² + 3x − 2
Pembahasan
a) 2x² + x −6
a = 2, b = 1 dan c = − 6

ac = (2)(−6) = −12
b = 1
Cari dua angka jika dikali = -12, jika dijumlah = 1

dapat angka 4 dan − 3
                     

                           (2x + 4)(2x − 3)
2x² + x − 6 = ^{______________________} = (x + 2)(2x − 3)
                                      2

b) 5x² + 3x − 2
a = 5, b = 3 dan c = − 2

ac = (5)(−2) = − 10
b = 3

Cari angka jika dikali = − 10, jika dijumlah = 3

dapat angka 5 dan − 2

                           (5x + 5)(5x − 2)
5x² + 3x − 2 = ^{_____________________} = (x + 1)(5x − 2)
                                  5

Komposisi Fungsi & Fungsi Invers

1.    Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah:

 f(x) = 3x + 2
 g(x) = 2 − x

 Tentukan:
 a) (f o g)(x)
 b) (g o f)(x)

 Pembahasan

 Data:
 f(x) = 3x + 2
 g(x) = 2 – x

 a) (f o g)(x)
 "Masukkan g(x) nya ke f(x)"
 sehingga:
 (f o g)(x) = f ( g(x) )

                = f (2 − x)
                = 3(2 − x) + 2
                = 6 − 3x + 2
                = − 3x + 8

 b) (g o f)(x)
 "Masukkan f (x) nya ke g (x)"
 sehingga:
 (g o f)(x) = g ( f (x) )
                = g ( 3x + 2)
                = 2 − ( 3x + 2)
                = 2 − 3x − 2

                = − 3x

2.    Diberikan dua buah fungsi:
 f(x) = 3x² + 4x + 1
 g(x) = 6x
 Tentukan:
 a) (f o g)(x)
 b) (f o g)(2)

 Pembahasan

 Diketahui:
 f(x) = 3x² + 4x + 1
 g(x) = 6x

 a) (f o g)(x) = f(g(x))
                    = 3(6x)² + 4(6x) + 1
                    = 18x² + 24x + 1

 b) (f o g)(2) = 18(2)² + 24(2) + 1
                    = 72 + 48 + 1

                    = 121

3.    Diketahui f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka (f o g)(x) = ....
    
     Pembahasan
 f(x) = x² + 1
 g(x) = 2x − 3
 (f o g)(x) =.......?

 Masukkan g(x) nya ke f(x)
 (f o g)(x) = f(g(x))

                    = (2x − 3)² + 1
                    = 4x² − 12x + 9 + 1
                    = 4x² − 12x + 10

4.    Diketahui fungsi f(x) = 3x − 1 dan g(x) = 2x² + 3. Nilai dari komposisi fungsi (g o f)
(1) =....

Pembahasan
    Diketahui:
f(x) = 3x − 1 dan g(x) = 2x² + 3
(g o f)(1) =.......

Masukkan f(x) nya pada g(x) kemudian isi dengan 1
(g o f)(x) = 2(3x − 1)² + 3

                   = 2(9x² − 6x + 1) + 3

                   = 18x² − 12x + 2 + 3

                   = 18x² − 12x + 5
    (g o f)(1) = 18(1)² − 12(1) + 5

                  = 18 – 12 + 5

                  = 1

5. Diberikan dua buah fungsi:
    f(x) = 2x − 3
    g(x) = x² + 2x + 3
    Jika (f o g)(a) = 33, tentukan nilai dari 5a
   

    Pembahasan
    Cari (f o g)(x) terlebih dahulu
    (f o g)(x) = f(g(x))

                    = 2(x² + 2x + 3) − 3
                    = 2x² + 4x + 6 − 3
                    = 2x² + 4x + 3

     (f o g)(a) = f (g(a))

               33 = 2a² + 4a + 3
      2a² + 4a − 30 = 0
        a² + 2a − 15 = 0

      Faktorkan:
      (a + 5)(a − 3) = 0
      a = − 5 atau a = 3

      Sehingga
      5a = 5(−5) = −25 atau 5a = 5(3) = 15

6.    Diketahui (f o g)(x) = − 3x + 8 dan f(x) = 3x + 2
     Tentukan rumus dari g(x)

     Pembahasan

                  f(x) = 3x + 2
        (f o g)(x )  =  f (g(x))
         − 3x + 8  = 3(g(x)) + 2
    − 3x + 8 − 2 = 3 g(x)
          − 3x + 6 = 3 g(x)
            − x + 2 = g(x)
     atau
                 g(x) = 2 – x

7.    Diberikan rumus komposisi dari dua fungsi (g o f)(x) = − 3x  dan
g(x) = 2 – x. Tentukan rumus fungsi f(x)

    Pembahasan
(g o f)(x) = − 3x

    (g o f)(x) = g(f(x))
      − 3x = 2 − (f(x))
      − 3x = 2 − f(x)
        f(x) = 2 + 3x
atau
        f(x) = 3x + 2